PGL yg melewati (0, 6) dan (-2, 2) = f''(x)
Jika 0 = f'(-3). Tentukan titik belok f(x) atau
'saddle point' dari f(x), JIKA 246 = f(6)
Titik belok [tex]f(x)[/tex] adalah [tex]\bf(-3,\:3)[/tex].
Pembahasan
Titik Stasioner Fungsi: Titik Belok
PGL yg melewati [tex](0,\:6)[/tex] dan [tex](-2,\:2)[/tex] = [tex]f''(x)[/tex]. Maka:
[tex]\begin{aligned}&\frac{f''(x)-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1\\&{\quad}[\:x_1=0,\:y_1=6,\:x_2=-2,\:y_2=2\:]\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(2-6)(x-0)}{-2-0}+6\\&{\qquad\qquad\!\!}=\frac{-4x}{-2}+6\\&{\therefore\ \;}f''(x)=2x+6\end{aligned}[/tex]
Dapat kita perhatikan bahwa turunan kedua berderajat satu. Oleh karena itu, [tex]f(x)[/tex] berderajat tiga.
Grafik fungsi [tex]y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] "berbelok" ketika turunan keduanya bernilai 0.
[tex]\begin{aligned}&&\!\!\!\!\!\!f''(x)&=0\\&\Rightarrow&0&=2x+6\\&\Rightarrow&2x&=-6\\&\therefore&x&=\bf-3\end{aligned}[/tex]
⇒ Diperoleh titik belok: [tex]\bf\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)[/tex]
Untuk mengetahui ordinatnya, kita perlu mencari nilai [tex]f(-3)[/tex].
Kita tentukan [tex]f'(x)[/tex] terlebih dahulu.
[tex]\begin{aligned}f'(x)&=\int{f''(x)\,dx}\\&=\int{(2x+6)\,dx}\\&=x^2+6x+C\\ [ \: x &= -3\ \Rightarrow\ f'(-3)=0 \: ]\\\Rightarrow\;0&=9-18+C\\&=-9+C\\\Rightarrow C&=9\\\therefore\ f'(x)&=x^2+6x+9\\&=(x+3)^2\end{aligned}[/tex]
Jika ingin memeriksa apakah benar [tex]\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)[/tex] adalah titik belok [tex]f(x)[/tex], ambil [tex]a=-4[/tex] dan [tex]b=-2[/tex].
[tex]\begin{aligned}\bullet\ a=-4&\Rightarrow (-4+3)^2=1 > 0\\\bullet\ b=-2&\Rightarrow (-2+3)^2=1 > 0\\\end{aligned}[/tex]
Karena [tex]f(a) > 0[/tex] dan [tex]f(b) > 0[/tex] (sama-sama positif), maka benar bahwa [tex]\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)[/tex] adalah titik belok (saddle point).
Sekarang, kita tentukan [tex]f(x)[/tex].
[tex]\begin{aligned}f(x)&=\int f'(x)\,dx\\&=\int\left(x^2+6x+9\right)dx\\&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+C\\ [\:x&=6\ \Rightarrow\ f(6)=246\:]\\\Rightarrow 246&=\frac{1}{3}\cdot6^3+3\cdot36+9\cdot6+C\\&=2\cdot36+3\cdot36+54+C\\&=5\cdot36+54+C\\&=180+54+C\\&=234+C\\\Rightarrow\ \ C&=12\\\therefore f(x)&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+12\end{aligned}[/tex]
Kemudian, hitung nilai [tex]f(-3)[/tex] sebagai ordinat titik belok.
[tex]\begin{aligned}f(-3)&=\frac{1}{3}\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2+9\cdot(-3)+12\\&=-(-3)^2+27-27+12\\&=-9+12\\f(-3)&=\bf3\end{aligned}[/tex]
⇒ Titik belok: [tex](-3,\:3)[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Titik belok [tex]f(x)[/tex] adalah [tex]\bf(-3,\:3)[/tex].
[answer.2.content]
